Schützenberger groups of minimal shift spaces

Abstract

Esta tese visa esclarecer a estrutura dos subgrupos maximais dos monoides profinitos livres que correspondem aos sistemas dinâmicos simbólicos minimais. Esses grupos, agora chamados grupos de Schützenberger na literatura, foram estudados pela primeira vez por Almeida no início dos anos 2000. Eles revelam uma conexão frutuosa entre a teoria dos semigrupos e a dinâmica simbólica. Mas, apesar de vários desenvolvimentos importantes nas últimas duas décadas, a nossa compreensão desses grupos permanece incompleta. Esta tese propõe uma série de contribuições sobre diferentes aspectos do assunto, organizadas em três partes. A primeira parte trata da questão da liberdade: em que condições esses grupos são livres, seja na categoria de grupos profinitos, seja em relação a alguma pseudovariedade de grupos finitos? Concentramos a nossa atenção nos subgrupos maximais correspondentes às substituições primitivas. Um dos principais resultados é um critério de liberdade absoluta usando um tipo de apresentações profinitas introduzidas por Almeida e Costa, que são chamadas de omega-apresentações. Este critério permite destacar um exemplo de substituição primitiva invertível cujo grupo de Schützenberger não é livre, refutando um resultado proposto por Almeida. Alguns resultados preliminares sobre a liberdade relativa também são apresentados. A segunda parte da tese examina os quocientes pronilpotentes dos grupos de Schützenberger das substituições primitivas. O principal resultado é uma descrição dos quocientes pronilpotentes maximais dos grupos omega-apresentados, entre os quais se contam os grupos de Schützenberger de substituições primitivas. Mostramos que todas as informações sobre os quocientes pronilpotentes de um grupo omega-apresentado podem ser extraídas do polinómio característico de uma certa matriz. Podemos usar isso para provar, por exemplo, que os grupos omega-apresentados nunca são pro-p (o que responde parcialmente a uma pergunta de Zalesskii), e que eles são perfeitos apenas sob condições estritas que excluem os grupos de Schützenberger das substituições primitivas. Esses resultados também levam a uma série de condições necessárias para a liberdade absoluta e relativa dos grupos omega-apresentados. Deduzimos que os grupos de Schützenberger das substituições primitivas aperiódicas de comprimento uniforme nunca são absolutamente livres. A última parte da tese é dedicada ao estudo dos subgrupos gerados por palavras de retorno nos sistemas dinâmicos simbólicos minimais. Em 2016, Almeida e Costa demonstraram que o comportamento colectivo desses subgrupos permite compreender melhor o grupo de Schützenberger. Os seus resultados são motivados em parte por uma série de artigos publicados a partir de 2015 por Berthé et al., desenvolvendo certas ideias centradas em torno da noção de grafos de extensões. Sob certas condições, os resultados de Berthé et al. permitem obter um conhecimento completo dos subgrupos gerados pelas palavras de retorno. A nossa principal contribuição neste assunto é uma nova condição, a conectividade por sufixos, permitindo generalizar alguns desses resultados. Várias aplicações da conectividade por sufixos para o estudo dos grupos de Schützenberger também são destacadas.

This thesis aims to shed some light on the structure of maximal subgroups of free profinite monoids corresponding to minimal shift spaces. These groups, which came to be known as Schützenberger groups in the literature, were first studied by Almeida in the early 2000s. They provide a fruitful connection between semigroup theory and symbolic dynamics. But despite many significant advances taking place in the last two decades, our understanding of these groups remains sparse. This thesis proposes a number of contributions on different aspects of this topic, organized in three parts. The first part is concerned with the freeness question: when are these groups free, be it in the category of profinite groups, or relative to some pseudovariety of finite groups? This part of the thesis focuses in particular on the maximal subgroups corresponding to primitive substitutions. One of the main results is a criterion for absolute freeness which uses a special kind of profinite presentations introduced by Almeida and Costa, which we call omega-presentations. The criterion is used to exhibit a primitive invertible substitution with a non-free Schützenberger group, disproving a result proposed by Almeida. Some early results are also obtained on the topic of relative freeness. The second part of the thesis examines the pronilpotent quotients of Schützenberger groups of primitive substitutions. The main result is a description of the maximal pronilpotent quotients of omega-presented groups, of which Schützenberger groups of primitive substitutions are special cases. We show that all the information about the pronilpotent quotients of a given omega-presented group can be extracted from the characteristic polynomial of a certain matrix. This can be used, for instance, to show that omega-presented groups are never pro-p groups (partially answering a question of Zalesskii), and that they are perfect only under strict conditions which exclude Schützenberger groups of primitive substitutions. These results also lead to a number of necessary conditions for absolute and relative freeness of omega-presented groups. We deduce that Schützenberger groups of primitive aperiodic substitutions of constant length are never absolutely free. The last part of the thesis is devoted to a study of the subgroups generated by return words in minimal shift spaces. In 2016, Almeida and Costa showed that the collective behaviour of these subgroups can be used to gather information about the Schützenberger group. Their results were motivated in part by a series of papers initiated in 2015 by Berthé et al., which developed a number of ideas centred around the notion of extension graphs. Under certain assumptions, Berthé et al.'s results allowed for a complete understanding of the subgroups generated by return words. Our main contribution on this topic is a new condition called suffix-connectedness, which allows to generalize some of these results. Various applications of suffix-connectedness to the study of Schützenberger groups are also highlighted.