A Analogia entre Valores Singulares e Factores Invariantes

Abstract

O tema deste trabalho é a analogia formal existente entre valores singulares de matrizes reais ou complexas e factores invariantes de matrizes sobre certos tipos de anéis. Os aspectos principais são os seguintes: No capítulo I, consideram-se números de aproximação num contexto abstracto. São definidos para elementos de semigrupos em que é dada uma «norma» com valores num conjunto parcialmente ordenado. Algumas das analogias entre valores singulares e factores invariantes ( po exemplo o teorema de entrelaçamento) aparecem com grande simplicidade neste contexto. No final do capítulo estudam-se vários modelos em que o semigrupo é simplesmente um grupo aditivo de matrizes. No Capítulo II faz-se um estudo da teoria axiomática dos numeros-s de A. Pietsch, para o caso de operadores entre espaços vectoriais normados de dimensão finita. No Capítulo III leva-se a cabo uma análise aprofundada do recíproco do teorema de entrelaçamento, tanto para números-s como para factores invariantes, propondo-se uma unificação parcial. Vale a pena referir a Secção 3.6, em que o recíproco do entrelaçamento (que anteriormente se verificara ser falso em geral) é demonstrado para os números-s numa situação especial. A demonstração consiste num argumento de homotopia de alguma delicadeza. No Capítulo IV reunem-se mais algumas analogias. Na Secção 4.1 apresenta-se uma caracterização da sucessão dos factores invariantes para matrizes sobre domínios de divisores elementares, estabelecendo-se um paralelo com trabalho de Pietsch sobre número-s de operadores em espaços de Hilbert. O resultado principal da Secção 4.4 descreve o campo de variação exacta do K-ésimo factor invariante de um produto de duas matrizes quadradas (sobre um domínio de ideias principais) com factores invariantes prescritos. Ao longo do trabalho chama-se a atenção para o facto de que muitos resultados que habitualmente se apresentam para matrizes sobre domínios de ideais principais são na realidade válidos para domínios de divisores elementares (por vezes com a mesma demonstração). A técnica de «localização» de Krull permite então estender muitos deles à classe ainda mais ampla dos domínios de máxima divisor comum.