Numerical methods for hyperbolic diffusive problems

Abstract

O uso de equações diferenciais hiperbólicas de segunda ordem, na modelação de problemas difusivos, tem-se revelado útil em muitos ramos da ciência como a física, química, biologia e finanças. A condução de calor, a difusão de massa e a dinâmica dos fluidos são alguns exemplos pertencentes à vasta gama de temas abrangidos por este tipo de equações hiperbólicas. Contudo, a inclusão de um potencial não tem sido estudada de forma exaustiva, apesar da sua grande relevância em aplicações práticas como, por exemplo, a distribuição da concentração de massa em problemas de difusão.

O objetivo principal desta tese consiste em desenvolver e estudar métodos numéricos para problemas hiperbólicos de segunda ordem que tomam em consideração a presença de um potencial. Em particular, pretende-se estudar como a variação do coeficiente de relaxamento temporal e o potencial afetam o comportamento da solução, nomeadamente quando se consideram tempos longos. Para isso, iremos começar por analisar diferentes métodos numéricos para o caso unidimensional, tais como um método de diferenças finitas do tipo Crank-Nicolson e um algoritmo baseado na transformada de Laplace combinado com diferentes estratégias de discretização espacial. Todos os algoritmos considerados são estudados quanto à sua consistência e estabilidade e são apresentados exemplos numéricos que, para além de ilustrar os resultados teóricos obtidos, comparam a sua eficiência. Entre as simulações numéricas realizadas, é de destacar uma aplicação interessante que modela a dinâmica de uma partícula Browniana na presença de um potencial periódico simétrico.

A investigação realizada revela as vantagens e desvantagens inerentes às diferentes formulações. Em particular, quando há interesse no comportamento da solução para tempos longos, os métodos baseados na transformada de Laplace, a qual é combinada com métodos de diferenças finitas ou a formulação de volumes finitos, mostraram ser mais eficazes que o método de Crank-Nicolson. Contudo, dependendo da discretização espacial usada em problemas que contenham condições iniciais descontínuas, por vezes surgem oscilações numéricas em alguns testes numéricos. Para suprimir essa lacuna, procurou-se uma abordagem alternativa e usou-se a técnica de linearização seccionada na discretização espacial que, combinada com a transformada de Laplace, se revelou o método mais eficaz para os problemas considerados no caso unidimensional.

Os métodos usados no caso unidimensional são generalizados para o caso bidimensional. Contudo, o método que se revelou mais eficaz, pela sua natureza particular, não pode ser considerado. Como forma de melhorar a eficiência computacional do algoritmo de Crank-Nicolson desenvolvemos um método implícito de direção alternada. Esta abordagem, apesar de clássica para métodos de diferenças finitas, é uma inovação no contexto dos problemas hiperbólicos com derivadas parciais de primeira e segunda ordem, tanto no espaço como no tempo. Os resultados teóricos desenvolvidos na análise deste método constituem um importante contributo desta tese e mostram o grande potencial do algoritmo no tratamento numérico do problema que nos propusemos estudar.

The use of second order hyperbolic differential equations in modeling diffusive problems, has shown to be useful in many branches of science such as physics, chemistry, biology and finance. The heat conduction, the mass diffusion and the fluid dynamics are some of the examples belonging to a wide range of subjects covered by these hyperbolic equations. However, the incorporation of a potential field has not been studied exhaustively, despite its great relevance in practical applications such as, for instance, the mass concentration distribution of diffusion problems. The main purpose of this thesis is to develop and study numerical methods for second order hyperbolic problems that take into account the presence of a potential field. In particular, we intend to study how the coeffi- cient of variation of the relaxation time and the potential affect the solution behavior, namely when long times are considered. To accomplish this, we will start to analyze different numerical methods for the one dimensional case such as, a finite difference method of Crank-Nicolson type and an algorithm based on Laplace transform combined with distinct spatial discretization strategies. Consistency and stability are studied for all the considered algorithms and numerical examples are presented to illustrate the theoretical results and, in addition, to compare their efficiency. Among the numerical simulations performed, we highlight an interesting application that models the dynamics of a Brownian particle in the presence of a symmetric periodic potential. The research carried out reveals the advantages and disadvantages inherent in the different formulations. In particular, when there is an interest in the behavior of solution for long times, the methods based on the Laplace transform, which is combined with finite difference methods or finite volume formulations, show to be more effective than the CrankNicolson method. However, depending on the spatial discretization used in problems that contain discontinuous initial conditions, sometimes numerical oscillations arise in numerical tests. To suppress this shortcoming, we seek an alternative approach and used the piecewise linearized technique in the spatial discretization which, combined with the Laplace transform, turns out to be the most effective method for the problems considered in one dimensional case. The numerical methods applied in the one dimensional case are generalized in two dimensions. However, the most effective method, due to its specific nature, can not be considered. In order to improve the computational efficiency of the Crank-Nicolson algorithm, we develop an alternating direction implicit method. This approach, although classical for the finite difference methods, is an innovation in the context of hyperbolic problems, with partial derivatives of first and second order, in both space and time. The theoretical results developed in the analysis of the method are an important contribution of this thesis and show the great potential of the algorithm in the numerical treatment of the problem we proposed to study