Runge-Kutta Discontinuous Garlerkin methods for Maxwell's equations

Abstract

A principal motivação por detrás deste trabalho é estudar um método que simule a propagação de uma onda electromagnética através das camadas da retina durante uma Tomografia de Coerência Óptica (OCT). A simulação da complexidade total da retina, em particular da variação do tamanho e da forma de cada estrutura, da distância entre estruturas e dos respectivos índices refractivos, requer uma abordagem rigorosa que pode ser alcançada resolvendo equações de Maxwell. Estas são o conjunto de equações com derivadas parciais que ditam o comportamento de um campo electromagnético quer no vácuo quer num meio não vazio. Para modelar completamente o problema, introduzimos as relações constitutivas, condições de fronteira e condições iniciais.Neste trabalho, estabelecemos um método totalmente discreto que nos permite obter uma solução numérica para o problema num meio isotrópico homogéneo com condições de fronteira para um condutor eléctrico perfeito (PEC). Primeiro, a discretização espacial é obtida recorrendo à formulação forte do método de Galerkin descontínuo (dG) com fluxos centrais e provamos a estabilidade e convergência deste método. De seguida, o método de Euler explícito é usado para proceder à discretização temporal do esquema semi-discreto que resulta do método dG e provamos a estabilidade e convergência da discretização temporal. A ordem de convergência espacial do método dG é confirmada numericamente para o caso bidimensional implementando o método dG em Matlab. Aqui o método totalmente discreto é implementado usando um método de Runge-Kutta para a discretização temporal. Por fim, consideramos um exemplo numérico para um modelo bidimensional que tenta representar um único núcleo da camada nuclear externa (ONL), que é constituída pelos corpos celulares de células de fotorreceptores sensíveis à luz.

The main motivation behind this work is to study a method that simulates the propagation of an electromagnetic wave through the layers of the retina during an Optical Coherence Tomography (OCT). Simulating the full complexity of the retina, in particular the variation of the size and shape of each structure, distance between them and the respective refractive indexes, requires a rigorous approach that can be achieved by solving Maxwell’s equations. These are the set of partial differential equations that govern the behaviour of an electromagnetic field in free space and in media. To fully model the problem, we introduce the constitutive relations, boundary conditions and initial conditions. In this work, we establish a fully discrete method that allows us to obtain a numerical solution for the problem in a homogeneous isotropic medium with perfect electric conductor (PEC) boundary conditions. First the spatial discretization is achieved by resorting to the strong formulation of the discontinuous Galerkin (dG) method with central fluxes and we prove the stability and convergence of this method. Then the explicit Euler method is used in order to achieve the temporal discretization of the semi-discrete scheme obtained with the dG method and we prove the stability and the convergence of the temporal discretization. The spatial convergence rate of the dG method is numerically corroborated for the bidimensional case by implementing the dG method in Matlab. Here the fully discrete method is implemented using a Runge-Kutta method for the temporal discretization. Finally, we consider a numerical example for a two dimensional model which tries to represent a single nucleus of the outer nuclear layer (ONL), that comprises the cells bodies of light sensitive photoreceptors cells.