Symplectic keys and Demazure atoms in type C

Abstract

The type C Kashiwara-Nakashima tableaux, a variation of De Concini tableaux, provide a combinatorial model for crystals associated to finite-dimensional irreducible representations of the symplectic Lie algebra. Some of these tableaux, called key tableaux, yield a tableau criterion for the Bruhat order on the hyperoctahedral group, the type C Weyl group, and a tableau criterion for the Bruhat order induced on the left cosets defined by parabolic subgroups of the hyperoctahedral group. In the type A crystal of semistandard Young tableaux, using the jeu de taquin, Lascoux-Schützenberger presented an algorithm to compute type A right and left key maps, that return key tableaux, for semistandard Young tableaux. Using the Sheats-Lecouvey symplectic jeu de taquin, we adapt Lascoux-Schutzenberger's algorithm in order to be able to compute right and left keys for type C Kashiwara-Nakashima tableaux. In fact, we can compute symplectic keys, right or left, without the use of the jeu de taquin and, motivated by Willis' direct way of computing right and left keys of semistandard Young tableaux, we also give a way of computing symplectic, right or left, keys without the use of jeu de taquin. In type C, the symplectic right and left key maps give a description of Demazure atoms and opposite Demazure atoms, respectively, and consequently of Demazure and opposite Demazure characters. The symplectic right and left key maps, and consequently Demazure atoms and opposite Demazure atoms, are related through the Lusztig involution. A type C Schützenberger evacuation is defined to realize that involution.

Os Kashiwara-Nakashima tableaux do tipo C, uma variante dos tableaux de De Concini, são um modelo combinatório para os cristais associados a representações irredutíveis de dimensão finita de álgebras de Lie simplécticas. Alguns destes tableaux, chamados de key tableaux, formam critério para a ordem de Bruhat dos elementos do grupo hiperoctaedral, o grupo de Weyl do tipo C, e formam também um critério para a Bruhat order induzida nas suas classes laterais esquerdas relativamente aos subgrupos parabólicos. No cristal do tipo A formado pelos semistandard Young tableaux, utilizando o jeu de taquin, Lascoux e Schützenberger apresentaram um algoritmo para calcular, no tipo A, duas funções que dado um semistandard Young tableau devolvem um key tableau, right key e left key. Utilizando o jeu de taquin simpléctico de Sheats e Lecouvey, nós adaptamos o algoritmo do Lascoux e do Schutzenberger para poder calcular right e left keys de Kashiwara-Nakashima tableaux do tipo C. Na realidade, conseguimos calcular keys de tableaux do tipo C, right ou left, sem utilizar o jeu de taquin e, motivados pela maneira directa de Willis' de calcular right e left keys para semistandard Young tableaux, apresentamos uma maneira de calcular keys simplécticas, right ou left, que não utiliza o jeu de taquin. As funções para calcular para calcular keys simplécticas, right ou left, servem como uma descrição dos Demazure atoms e dos opposite Demazure atoms, respectivamente, e consequentemente também descrevem os carácteres de Demazure e as suas versões opposite.