Exploring the Dyson-Schwinger Equations in QED

Abstract

Although very powerful and highly successful, perturbation theory has its limitations and cannot be used to explain several problems in Quantum Field Theories. Therefore, it becomes necessary to develop alternative non-perturbative approaches, one of which are the Dyson-Schwinger equations. These are a set of equations that relate the Green's functions of different orders of a theory to each other, forming an infinite tower of coupled nonlinear integral equations. This work explores the application of this method to Quantum Electrodynamics, with the derivation of a minimal set of equations in Minkowski spacetime for a general linear covariant gauge that goes beyond the propagators in QED. This set of equations includes the Dyson-Schwinger equations for the fermion and photon propagator, as well as for the one-particle irreducible photon-fermion vertex in exact form. In order to build a closed set of equations, the Dyson-Schwinger equation for the one-particle irreducible two-photon-two-fermion vertex is also derived, although in a truncated version to avoid the need for invoking Green’s functions with a greater number of external legs. The Ward-Takahashi identities for the photon-fermion and the two-photon-two-fermion irreducible vertices are also derived. A study of the photon-fermion coupled system is made using the Ball-Chiu vertex to replace the photon-fermion vertex, where the equations are evaluated in Euclidean spacetime and some preliminary numerical results are discussed.

Embora muito poderosa e bem-sucedida, a teoria de perturbações tem limitações e não pode ser utilizada para explicar diversos problemas em Teoria Quântica de Campos. Assim, torna-se necessário desenvolver abordagens alternativas não-perturbativas, uma das quais são as equações de Dyson-Schwinger. Estas são um conjunto de equações que relacionam as funções de Green de diferentes ordens de uma teoria entre si, formando uma torre infinita de equações integrais não lineares acopladas. Este trabalho explora a aplicação deste método à Eletrodinâmica Quântica, com a derivação de um conjunto mínimo de equações no espaço-tempo de Minkowski para uma gauge linear covariante geral que transcende os propagadores. Este conjunto de equações inclui as equações de Dyson-Schwinger para o propagador do fermião e do fotão, bem como para o vértice irredutível fotão-fermião de forma exata. A fim de construir um conjunto fechado de equações, a equação de Dyson-Schwinger para o vértice irredutível de dois-fotões-dois-fermiões também é derivada, embora em uma versão truncada para evitar a necessidade de invocar as funções de Green com um maior número de pernas externas. As identidades de Ward-Takahashi para os vértices irredutíveis fotão-fermião e dois-fotões-dois-fermiões também são derivadas. Um estudo do sistema acoplado fotão-fermião é feito utilizando o vértice de Ball-Chiu para substituir o vértice fotão-fermião. As equações são avaliadas no espaço-tempo Euclidiano e alguns resultados numéricos preliminares são discutidos.