Estimation fonctionnelle : applications aux tests d'adéquation et de paramètre constant

Abstract

Compõe-se esta dissertação de duas partes principais. Na primeira, que compreende os dois primeiros capítulos, começamos por estabelecer a convergência pontual e a normalidade assimptótica duma classe de estimadores do núcleo baseados num processo estocástico fortemente estacionário e misturador. Estes resultados generalizam, ao caso multidimensional, os obtidos por Robinson (1983) sobre a estimação não paramétrica da densidade de probabilidade e da esperança condicional, e permitem deduzir, de forma simples, resultados de convergência para outros parâmetros funcionais condicionais, nomeadamente, quocientes de momentos condicionais, variância condicional, coeficiente de assimetria condicional e curtose condicional. Já no segundo capítulo, propomos uma classe de M-estimadores do núcleo para efectuar diagnósticos não paramétricos de especificações paramétricas. Utilizando os resultados obtidos no primeiro capítulo, estudamos as propriedades pontuais de convergência quase certa e de normalidade assimptótica de tais estimadores e explicamos como utilizá-los para efectuar tais diagnósticos. Apresentamos também alguns problemas onde as técnicas desenvolvidas podem ser aplicadas. A segunda parte desta tese, constituída pelos terceiro e quarto capítulos, tem por objectivo principal o estudo de testes de ajustamento a uma densidade fixa à partida, baseados em medidas quadráticas da discrepância entre essa densidade e um estimador não paramétrico do núcleo. Os resultados estabelecidos são generalizações, ao caso multidimensional e num contexto de independência assimptótica, dos resultados obtidos por Bickel e Rosenblatt (1973) e Hall (1984). Na base de tais resultados estão as técnicas de U-estatísticas degeneradas desenvolvidas no terceiro capítulo, em particular, o teorema de limite central para uma soma de U-estatísticas degeneradas de primeira e segunda ordem geradas por uma sucessão de processos estocásticos fortemente estacionários e geometricamente absolutamente regulares.