Processos Threshold GARCH com potência : estrutura probablistica e aplicação a cartas de controlo

Abstract

O objetivo fundamental desta dissertação é aprofundar o conhecimento da estrutura probabilista do modelo Threshold GARCH com potência δ (δ-TGARCH) e propor uma sua aplicação às cartas de controlo Shewhart modificadas. A definição do modelo que considerámos inclui a possibilidade da potência δ ser negativa e impõe restrições mínimas ao processo gerador. Para este modelo, são obtidas três representações alternativas, começando pela δ-TARCH(∞), uma representação puramente autorregressiva, garantindo a sua existência, com convergência quase certa, e unicidade; esta representação permite chegar a uma outra onde se asseguram as ordens mínimas, naturalmente designada representação mínima. Propomos ainda uma representação vetorial, mais compacta do que as habituais, com o propósito de estudar os diversos tipos de estacionaridade. Estabelecemos condições necessárias e suficientes de estacionaridade forte e ergodicidade e também de existência de momento de ordem δ, que permitem a discussão da estacionaridade à ordem δ e também da estacionaridade fraca, esta última feita, primeiro, para a representação vetorial e, em seguida, para o modelo de potência δ≥1. Particularizamos algumas destas condições para distribuições concretas do processo gerador, explicitando completamente as regiões de estacionaridade do modelo. Analisamos a presença da propriedade de Taylor, que é a contrapartida teórica do facto estilizado conhecido como efeito de Taylor, detetado em inúmeras séries temporais de natureza financeira e que indica que a autocorrelação de ordem n do processo em valor absoluto é maior do que a do quadrado do processo. Esta análise é feita para o modelo 1-TGARCH(1,1), sendo estabelecidas as condições para a sua presença. Investigamos também a influência da distribuição das variáveis do processo gerador na extensão da região de parametrizações do modelo que verifica a propriedade. Um trabalho de simulação mostra que os modelos incorporados na classe δ-TGARCH não são igualmente favoráveis ao aparecimento do efeito de Taylor. Estudamos as distribuições de dimensão finita dos processos δ-TGARCH, para as quais obtemos enquadramentos que dependem apenas dos parâmetros do modelo e da distribuição do processo gerador. A avaliação do enquadramento da distribuição marginal de um processo δ-TGARCH de potência δ≠0 é feita através de simulações para várias parametrizações e diversas distribuições marginais do processo gerador (simétricas e assimétricas, com especial incidência nas de caudas pesadas) e mostra a boa qualidade do enquadramento determinado. As distribuições conjuntas de vetores de dimensão n são analisadas em todas as regiões de IRⁿ, sendo o seu enquadramento estabelecido para o modelo com potência δ>0 e a sua qualidade ilustrada num trabalho de simulação para os vetores de dimensão 2. Aplicamos os resultados obtidos no estudo da estacionaridade e das distribuições de dimensão finita às cartas (ou esquemas) de controlo Shewhart modificadas para processos δ-TGARCH de potência positiva, que são analisadas abrindo a possibilidade de terem limites de controlo assimétricos. Para estas é estudado, através do seu enquadramento, o average run length (ARL), que é a medida mais usual de avaliação de desempenho para cartas de controlo. Examinamos o enquadramento obtido para o ARL sob controlo, recorrendo a dois estudos de simulação para o modelo 1-TGARCH(1,1), um para esquemas de controlo com limites simétricos e outro com limites assimétricos.

The main objective of this thesis is to develop a study on the probabilistic structure of the δ Power Threshold GARCH model (δ-TGARCH) and propose an application to modified Shewhart control charts. The definition here considered includes the possibility of negative values for δ and imposes minimal restrictions on the generator process. For this model, three different representations are obtained, starting with one that is purely autoregressive, the δ-TARCH(∞) representation. We ensure its existence, with almost sure convergence, and uniqueness. This representation allows us to deduce another one, called minimal representation, where the model minimal orders are guaranteed. We also propose a vectorial representation, more compact than usual, used to study the various types of stationarity. We derive necessary and sufficient conditions for strict stationarity, ergodicity and existence of moments of order δ, that allow for the discussion of both δ order and weak stationarity, the latter being done, firstly, for the vectorial representation and then for the model with power δ≥1. We deduce some of these conditions for specific distributions of the generator process and obtain the corresponding stationarity regions of the model. Taylor property is the theoretical counterpart of the stylized fact known as Taylor effect and has been detected in numerous financial time series. It means that the autocorrelation of lag n of the absolute valued process is larger than that of the squared process. We establish the conditions for its presence for the 1-TGARCH(1,1) model and investigate the influence of the generator process marginal distribution in the extension of the regions of the model parameters which verify this property. A simulation study shows that the models incorporated in the δ-TGARCH class are not equally favourable to the appearance of Taylor effect. We study the finite-dimensional distributions of δ-TGARCH processes, deriving bounds that only depend on the model parameters and on the marginal distribution of the generator process. The quality of the bounds for the marginal distribution of a δ-TGARCH process, with power δ≠0, is evaluated through simulations for various parameterizations and several marginal distributions of the generator process (both symmetrical and asymmetrical, with special incidence in the ones with heavy tails). The results show the good quality of the bounds determined. The joint distributions of n-dimensional vectors are examined for all regions of IRⁿ. Its bounds are established for the model with power δ>0 and its quality illustrated in a simulation work for 2-dimensional vectors. We apply the results obtained in the study of stationarity and of the finite-dimensional distributions to modified Shewhart control charts (or schemes) for δ-TGARCH processes, with positive power, which are analysed considering the possibility of asymmetrical control limits. For these charts, we examine and bound the average run length (ARL), which is a widely used performance measure for control charts. The quality of the bounds determined for the in-control ARL is assessed using two simulation studies for the 1-TGARCH(1,1) model, one for control schemes with symmetrical limits and another one with asymmetrical limits.