Aplicação de métodos numéricos adaptativos na integração de sistemas algébrico-diferenciais caracterizados por frentes abruptas

Abstract

O objectivo do presente trabalho consiste no desenvolvimento e estudo de algoritmos adaptativos de integração para sistemas de Equações Diferenciais Parciais/Algébricas evolutivas e unidimensionais. Estes algoritmos baseiam-se em estratégias de adaptação espacial da malha, associados a discretizações caracterizadas por aproximações de diferenças finitas. Os referidos métodos foram escolhidos de forma a representarem dois tipos de estratégias alternativas no tratamento de soluções problemáticas que desenvolvam frentes abruptas e/ou choques móveis e, que, tradicionalmente colocam bastantes dificuldades de integração, através de métodos baseados em malhas, temporal e espacialmente, fixas. Ambos os algoritmos apresentam uma estrutura semelhante, podendo ser divididos em dois estágios distintos. Estágio I Identificação de subdomínios onde a introdução de uma estratégia de adaptação se revela necessária. Este estágio é equivalente em ambos os algoritmos, sendo efectuado através da comparação dos perfis de solução obtidos pela integração do problema em duas malhas fixas de tamanho diferente (uma malha fina e outra esparsa); Estágio II Integração dos subproblemas gerados, para cada um dos subdomínios detectados no estágio anterior, pela introdução de um procedimento adaptativo, na resolução do problema original. Neste estágio, as estratégias de adaptação da malha base diferem bastante entre cada um dos algoritmos. Assim, tem-se: Algoritmo de Refinamento – caracterizado pelo refinamento sucessivo de cada uma das submalhas detectadas até à satisfação do critério de precisão previamente estabelecido. Algoritmo de Malha Móvel – caracterizado pela introdução de uma estratégia de mobilidade nodal dinâmica em cada uma das submalhas referidas anteriormente. Para cada um dos algoritmos foi desenvolvida uma package de carácter geral, de forma a se tornar possível a sua aplicação prática. Estas packages foram testadas em diversas condições, tanto para Equações Diferenciais Parciais (P.D.E.´s) escalares e vectoriais, como para Sistemas Mistos Algébrico Diferenciais (P.D.A.E.´s). A aplicação da discretização espacial a cada modelo transforma o problema original num sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (O.D.E.´s), que é integrado no tempo por intermédio do integrador implícito DASSL. No que diz respeito à avaliação da solução em abcissas intermédias, em relação às posições nodais das malhas base, foi estudada a influência de dois tipos de interpolação: linear e através de Splines cúbicas, tendo-se verificado a melhor adequação das aproximações lineares para perfis com variações do gradiente mais elevadas e bruscas. A qualidade da performance de cada método foi analisada, tendo como referência os resultados apresentados por Duarte[29], baseados na utilização de uma formulação do Método dos Elementos Finitos Móveis, quer no que diz respeito à precisão das soluções obtidas, como dos esforços computacionais exigidos.Em geral, ambos os algoritmos se revelaram robustos na resolução de um variado conjunto de problemas. No entanto, o Método de Malha Móvel, mostrou-se particularmente apropriado para problemas que desenvolvem frentes abruptas móveis, onde as magnitudes das derivadas espaciais são especialmente elevadas. No caso do Método de Refinamento, os resultados são comparativamente de qualidade inferior, revelando maiores dificuldades de aplicação em modelos de integração mais difícil. Foram analisados dois procedimentos diferentes para o tratamento das condições fronteiras interiores dos subproblemas gerados, tendo-se concluído que a estratégia adoptada no Método de Refinamento, baseada na fixação de condições de Dirichlet artificiais, não se revela satisfatória, podendo ocasionar dificuldades acrescidas na integração de modelos específicos. Pelo contrário, a estratégia aplicada no Método de Malha Móvel, baseada na simulação da evolução temporal da solução, mostrou-se bastante robusta, em todos os problemas testados. Desenvolveram-se, igualmente, diversas subrotinas para a avaliação de derivadas de diferentes ordens, através de correlações de diferenças finitas de tipo e grau de precisão muito variados, para malhas arbitrariamente espaçadas, em sistemas coordenados de dimensão máxima três. Consideram-se vários processos para a avaliação dos pesos associados a cada uma destas aproximações.