Pseudomonads and Descent

Abstract

This thesis consists of one introductory chapter and four single-authored papers written during my PhD studies, with minor adaptations. The original contributions of the papers are mainly within the study of pseudomonads and descent objects, including applications to descent theory, commutativity of weighted bilimits, coherence and (presentations of) categorical structures.

In Chapter 1, we give a glance of the scope of our work and briefly describe elements of the original contributions of each paper, including some connections between them. We also give a brief exposition of our main setting, which is 2-dimensional category theory. In this direction: (1) we give an exposition on the doctrinal adjunction, focusing on the Beck-Chevalley condition as used in Chapter 3, (2) we apply the results of Chapter 5 in a generalized setting of the formal theory of monads and (3) we apply the biadjoint triangle theorem of Chapter 4 to study (pseudo)exponentiable pseudocoalgebras.

Chapter 2 corresponds to the paper \textit{Freely generated n-categories, coinserters and presentations of low dimensional categories}, \textit{DMUC 17-20} or \textit{arXiv:1704.04474}. We introduce and study presentations of categorical structures induced by (n+1)-computads and groupoidal computads. In this context, we introduce the notion of deficiency and presentations of groupoids via computads. We compare the resulting notions with those induced by monads together with a finite measure of objects. In particular, we find our notions to generalize the usual ones. One important feature of this paper is that we show that several freely generated structures are naturally given by coinserters. After recalling how the category freely generated by a graph G internal to the category of sets is given by the coinserter of $G$, we introduce higher icons and present the definitions of $n$-computads via internal graphs of the 2-category nCat of n-categories, n-functors and n-icons. Within this setting, we show that the n-category freely generated by an $n$-computad is also given by a coinserter. Analogously, we demonstrate that the geometric realization of a graph G consists of a left adjoint functor $\F _ {\Top _1}: \grph\to \Top $ given objectwise by the \textit{topological coinserter}. Furthermore, as a fundamental tool to study presentation of thin and locally thin categorical structures, we give a detailed construction of a $2$-dimensional analogue of $\F _ {\Top _1}, denoted by \F _ {\Top _2}: \cmp\to \Top$. In the case of group presentations, $\F _ {\Top _2}$ formalizes the Lyndon-van Kampen diagrams. Finally, we sketch a construction of the 3-dimensional version $\F _ {\Top _3}$ which associates a 3-dimensional CW-complex to each 3-computad.

Chapter 3 corresponds to the article \textit{Pseudo-Kan Extensions and descent theory}, \textit{arXiv:1606.04999} under review. We develop and employ results on idempotent pseudomonads to get theorems on the general setting of descent theory, which, in our perspective, is the study of the image of pseudomonadic pseudofunctors. After giving a direct approach to prove an analogue of Fubini's Theorem for weighted bilimits and constructing pointwise pseudo-Kan extensions, we employ the results on pseudomonadic pseudofunctors to get theorems on commutativity of bilimits. In order to use these results as the main framework to deal with classical descent theory in the context of Janelidze-Tholen (Facets of Descent), we prove that the descent category (object) of a pseudocosimplicial category (object) is its conical bilimit. We use, then, this formal approach of commutativity of bilimits to (1) recast classical theorems of descent theory, (2) prove generalizations of such theorems and (3) get new results of descent theory. In this direction, we give formal proofs of transfer theorems, embedding theorems, a pseudopullback theorem, a Galois Theorem and the B\'{e}nabou-Roubaud Theorem. We also apply the pseudopullback theorem to detect effective descent morphisms in suitable categories of enriched categories in terms of (the embedding in) internal categories.

Chapter 4 corresponds to the article \textit{On Biadjoint Triangles}, published in \textit{Theory and Applications of Categories, Vol 31, N. 9} (2016). The main contributions are the biadjoint triangle theorems, which have many applications in $2$-dimensional category theory. Examples of which are given in this same paper: reproving the \textit{Pseudomonadicity characterization} of Le Creurer-Marmolejo-Vitale, improving results on the \textit{$2$-monadic approach to coherence} of the Australian School, improving results on \textit{lifting of biadjoints} of Blackwell-Kelly-Power and introducing the suitable concept of \textit{pointwise pseudo-Kan extension}.

Chapter 5 corresponds to the article \textit{On lifting of biadjoints and lax algebras}, to appear in \textit{Categories and General Algebraic Structures with Applications}. It can be seen as a complement of the precedent chapter, since it gives further theorems on lifting of biadjoints provided that we can describe the categories of morphisms of a certain domain in terms of weighted (bi)limits. This approach, together with results on lax descent objects and lax algebras, allows us to get results of lifting of biadjoints involving (full) sub-$2$-categories of the $2$-category of lax algebras. As a consequence, we complete our treatment of the $2$-monadic approach to coherence via biadjoint triangle theorems.

Esta tese consiste em um capítulo introdutório e quatro artigos de autoria única, escritos durante os meus estudos de doutoramento. As contribuições originais dos artigos est\~{a}o principalmente dentro do contexto do estudo de pseudomónadas e objetos de descida, com aplicações à teoria da descida, comutatividade de bilimites ponderados, coerência e apresentações de estruturas categoriais.

No Capítulo 1, introduzimos aspectos do escopo do trabalho e descrevemos alguns elementos das contribuições originais de cada artigo, incluindo interrelações entre elas. Damos também uma exposição básica sobre o principal assunto da tese, nomeadamente, teoria das categorias de dimensão $2$. Nesse sentido, (1) introduzimos adjunção doutrinal, focando na condição de Beck-Chevalley, com a perspectiva adotada no Capítulo \ref{Teoria da Descida PhD}, (2) aplicamos resultados do Capítulo \ref{Levantamento de Biadjuntos PhD} em um contexto generalizado da teoria formal das mónadas e (3) aplicamos o teorema de triângulos biadjuntos do Capítulo \ref{Triangulos Biadjuntos PhD} para estudar pseudocoalgebras (pseudo)exponenciáveis.

O Capítulo 2 corresponde ao artigo \textit{Freely generated n-categories, coinserters and presentations of low dimensional categories}, \textit{DMUC 17-20} ou \textit{arXiv:1704.04474}. Neste trabalho, introduzimos e estudamos apresenta\c{c}\~{o}es de estruturas categoriais induzidas por $(n+1) $-computadas e computadas grupoidais. Introduzimos a no\c{c}\~{a}o de deficiência de grupóides via computadas. Comparamos, ent\~{a}o, as no\c{c}\~{o}es resultantes com as no\c{c}\~{o}es induzidas por mónadas junto com medidas finitas de objetos. Em particular, concluimos que nossas no\c{c}\~{o}es generalizam as no\c{c}\~{o}es cl\'{a}ssicas. Outras contribui\c{c}ões do artigo consistiram em mostrar que as propriedades universais de v\'{a}rias estuturas livremente geradas podem ser descritas por coinserções. Come\c{c}amos por relembrar que as categorias livremente geradas s\~{a}o dadas por coinserções de grafos e, ent\~{a}o, introduzimos \textit{icons} de dimens\~{a}o alta e apresentamos as defini\c{c}\~{o}es de $n$-computadas via grafos internos da $2$-categoria $n\Cat $ de $n$-categorias, $n$-functores e $n$-\textit{icons}. Nesse caso, mostramos que a $n$-categoria livremente gerada por uma $n$-computada \'{e} a sua coinserção. Analogamente, demonstramos que a realização geométrica de um grafo $G$ \'{e} parte de um functor adjunto à esquerda $\F _ {\Top _1}: \grph\to \Top $ definido objeto a objeto pela coinserção topol\'{o}gica. Al\'{e}m disso, como uma ferramenta fundamental para o estudo de estruturas categoriais finas e localmente finas, apresentamos uma constru\c{c}\~{a}o detalhada de um an\'{a}logo de dimens\~{a}o $2$ de $\F _ {\Top _1}: \grph\to \Top $, denotado por $\F _ {\Top _2}: \cmp\to \Top$. No caso de grupos, $\F _ {\Top _2}$ formaliza e, portanto, generaliza o diagrama de Lyndon-van Kampen. Finalizamos o capítulo dando uma constru\c{c}\~{a}o de uma vers\~{a}o em dimens\~{a}o $3$, denotada por $\F _ {\Top _3}$, que associa um CW-complexo de dimens\~{a}o $3$ para cada $3$-computada.

O Capítulo 3 corresponde ao artigo \textit{Pseudo-Kan Extensions and descent theory}, em revisão para publicação. Desenvolvemos e aplicamos resultados sobre pseudomónadas idempotentes, obtendo teoremas no contexto geral da teoria da descida que, em nossa perspectiva, é o estudo da imagem de pseudofunctores pseudomonádicos. Depois de apresentar uma prova direta do teorema de Fubini para bilimites ponderados e de construir pseudo-extensões de Kan, aplicamos os resultados sobre pseudomónadas para provar teoremas sobre comutatividade de bilimites ponderados. Com o objetivo de usar tais resultados como base para lidar com a teoria da descida clássica no contexto de Janelidze-Tholen, provamos que a categoria (objeto) de descida de uma categoria (objeto) pseudocosimplicial é seu bilimite cónico. Usamos, então, esse tratamento formal de comutatividade de bilimites para (1) recuperar teoremas clássicos da teoria da descida, (2) provar generalizações desses teoremas e (3) obter novos resultados de teoria da descida. Nesse sentido, apresentamos provas formais (de generalizações) de teoremas de transferência, de teoremas de mergulho, do teorema de Galois e do teorema de Bénabou-Roubaud. Provamos também um resultado sobre morfismos de descida efetiva em pseudoprodutos fibrados de categorias e o aplicamos para obter morfismos de descida efetiva em algumas categorias de categorias enriquecidas.

O Capítulo 4 corresponde ao artigo \textit{On Biadjoint Triangles}, publicado no \textit{Theory and Applications of Categories, Vol 31, N. 9} (2016). As contribuções principais são os teoremas de triângulos biadjuntos, os quais possuem muitas aplicações em teoria de categorias de dimensão $2$. Apresentamos exemplos de aplicações no próprio artigo: provamos explicitamente o teorema de pseudomonadicidade, melhoramos resultados sobre o tratamento $2$-monádico do problema de coerência da Escola Australiana, generalizamos resultados de levantamentos de biadjuntos e introduzimos o conceito de \textit{pseudo-extensões de Kan} para, então, construir as pseudo-extensões de Kan via bilimites ponderados.

O Capítulo 5 corresponde ao artigo \textit{On lifting of biadjoints and lax algebras}, a ser publicado no \textit{Categories and General Algebraic Structures with Applications}. O principal tema deste artigo é a demonstração de teoremas de levantamento de biadjuntos, ao assumir que conseguimos descrever a categoria de morfismos de um domínio em termos de (bi)limites ponderados. Esse tratamento, junto com resultados sobre objetos de descida lassos e álgebras lassas, nos permite obter resultados sobre levantamento de biadjuntos envolvendo sub-$2$-categorias (plenas) da $2$-categoria de álgebras lassas. Como conseqüencia, concluímos nossos resultados de caracterização sobre o tratamento $2$-monádico do problema de coerência, via teoremas de triângulos biadjuntos.