Medidas em reticulados: uma abordagem locálica à teoria da medida

Abstract

Neste texto, estuda-se uma abordagem à teoria da medida no contexto da teoria dos frames e locales (topologia sem pontos). Primeiro, apresentam-se alguns conceitos e resultados fundamentais de reticulados e locales, definindo-se, em particular, o conceito de medida num reticulado sup-σ-completo X e mostrando-se que esta é uma generalização da definição tradicional. Abordam-se ainda algumas definições e resultados oportunos associados a essa definição. Em seguida, também se entra no estudo de σ-frames e σ-locales, apresentando-se alguns dos seus conceitos básicos e propriedades gerais, os quais, na sua maioria, têm um resultado ou uma propriedade correspondente na teoria de locales, com o qual coincidem sob a hipótese de X ser um σ-locale fortemente de Lindelöf. Seguidamente, apresenta-se uma equivalência entre a categoria dos espaços mensuráveis sóbrios (e aplicações mensuráveis) e a categoria dos σ-locales booleanos espaciais (e aplicações σ-locálicas) e, finalmente, dada uma medida µ num σ-locale X, estende-se essa medida a uma função μ∗ definida no co-frame de todos os sub-σ-locales de X, S(X), provando-se que, sob a hipótese de X ser um σ-locale adequado, μ∗ é uma medida em S(X) (Teorema IV.1.8). Para terminar, observa-se que, aplicando o Teorema IV.1.8, é possível estender a medida de Lebesgue do espaço euclidiano R^n a uma medida que não só atribui, em particular, um valor a todos os subconjuntos de R^n, como também é invariante relativamente ao grupo de isometrias de R^n.

In this text, we study an approach to measure theory in the context of the theory of frames and locales (topology without points). First, we present some fundamental concepts and results of lattices and frames/locales, where we define in particular the concept of measure on a sup-σ-complete lattice X and where we show that it is a generalization of the standard definition (defined only for sup-σ-complete boolean algebras). Some definitions and results associated to a measure in a sup-σ-complete lattice are also introduced. After that we study the theory of σ-frames and σ-locales, presenting some of their basic concepts and fundamental properties. We see that a great majority of those properties on a σ-locale X have a corresponding property in the theory of locales and that they are equivalent under the hypothesis that X is a strongly Lindelöf σ-locale. Then, we present an equivalence between the category of sober mensurable spaces (and mensurable maps) and the category of spatial boolean σ-locales (and σ-localic maps). Finally, given a measure μ in a σ-locale X, we extend this measure to a function μ∗ in the co-frame S(X) of all σ-sublocales of X and we prove that μ∗ is a measure in S(X) whenever X is a fit σ-locale (Theorem IV.1.8). At last, using Theorem IV.1.8, we observe that it is possible to extend the Lebesgue measure of the euclidean space R^n to a measure that not only assigns, in particular, a value to all subsets of R^n, but also it is invariant under the euclidean isometries of R^n.