Rolamentos sem deslize nem torção em variedades pseudo-riemannianas

Abstract

O objetivo fundamental desta dissertação é apresentar uma visão abrangente sobre rolamentos, sem deslize nem torção, de variedades diferenciáveis, contribuindo para aprofundar o conhecimento teórico nesta área e evidenciar potenciais aplicações. Começamos por apresentar uma definição de aplicação rolamento para o caso mais geral em que o movimento acontece dentro de espaços ambiente que são variedades pseudo-Riemannianas. Isto generaliza a definição clássica de Sharpe. A seguir, provamos algumas propriedades essenciais dos rolamentos e fazemos a ligação destes com o transporte paralelo de vetores. Dentro do contexto geral, analisamos os rolamentos das hiperquádricas de espaços pseudo-Euclidianos, com enfoque no caso dos espaços pseudo-hiperbólicos H_k^n (r). Apresentamos as equações da cinemáticas do rolamento de H_k^n (r) sobre o espaço afim associado ao espaço tangente num ponto. A obtenção de soluções explícitas destas equações é alcançada em dois casos particulares, destacando-se a situação em que o rolamento é feito ao longo de geodésicas. Rolamentos de um espaço pseudo-hiperbólico sobre outro e de pseudoesferas são igualmente tratados. Investigamos os rolamentos de grupos de Lie quadráticos sobre um espaço afim tangente. Também nestes casos se deduzem as equações da cinemática e se procuram soluções explícitas. A abordagem usada neste caso tem a preocupação de não destruir a estrutura matricial que caracteriza os elementos destes grupos matriciais. Estudamos a controlabilidade de rolamentos nos casos da hiperquádrica H_k^n (r) e dos grupos de Lie quadráticos principais, os grupos pseudo-ortogonais e os grupos simpléticos. Seguimos uma abordagem algébrica que passa por reescrever as equações da cinemática como um sistema de controlo afim a evoluir num grupo de Lie. Aplicamos os resultados obtidos anteriormente na resolução de problemas de interpolação suave em variedades e apresentamos um algoritmo interpolador. As propriedades dos rolamentos permitem transformar um problema de interpolação complicado, formulado numa variedade, num outro mais simples de resolver. São ainda fornecidos os ingredientes necessários para a implementação prática do algoritmo nos casos particulares de H_0^n (r) e H_1^n (r).

The primary goal of this dissertation is to present a comprehensive overview about rolling motions, subject to non-slip and non-twist constraints, of differentiable manifolds, contributing to deepen the theoretical knowledge in this area and to point out potential applications. We first present a definition of rolling map for the situation when the motion occurs inside an ambient space which is a pseudo-Riemannian manifold. This generalizes the classical definition of Sharpe. We then present several essential properties of rolling and make the connection between rolling motions and parallel transport of vectors. Within this general framework, we analyze the rolling of hyperquadrics embedded in pseudo-Euclidean spaces, focusing on the case of pseudo-hyperbolic spaces H_k^n (r). The kinematic equations of rolling H_k^n (r) on the affine space associated to the tangent space at a point is presented. Explicit solutions of these equations are obtained in two particular cases, with emphasis when the rolling is done along geodesics. Rolling of a pseudo-hyperbolic space on another and rolling of pseudo-spheres are equally treated. We investigate the rolling of quadratic Lie groups on an affine space tangent. We also derive the corresponding kinematic equations and look for explicit solutions. The approach used here is chosen so that the matrix structure that characterizes the elements of these matrix groups is not destroyed. We also address the controllability issue of rolling motions in the cases of hyperquadrics H_k^n (r) and of the most important quadratic Lie groups, pseudo-orthogonal groups and symplectic groups. We used an algebraic approach to controllability that requires rewriting the kinematic equations as a control system evolving on a Lie group. We apply the results previously obtained to solve problems of smooth interpolation on manifolds and present an interpolating algorithm. The properties of rolling enable to transform a complicated interpolation problem, formulated on a manifold, on another much simpler to solve. Ingredients needed to implement the algorithm are provided in the specific cases of H_0^n (r) and H_1^n (r).