Compound Poisson integer-valued GARCH processes

Abstract

A modelação de séries temporais de contagem conheceu nas últimas décadas grande impulso e desenvolvimento, devido sobretudo ao fato de muitos dos sistemas estocásticos observados, nos mais diversos contextos e áreas científicas, terem como resposta tal tipo de dados. As primeiras modelações, de caráter linear e essencialmente inspiradas nos clássicos modelos ARMA, revelaram-se insuficientes para dar resposta a algumas características empíricas, também observadas neste tipo de dados, como a heteroscedasticidade condicional. De modo a ter em conta tal tipo de características, surgiram na literatura vários modelos para séries temporais de valores inteiros não negativos inspirados nos GARCH clássicos de Bollerslev [10], entre os quais se destacam os modelos GARCH de valores inteiros com distribuição condicional de Poisson (designados modelos INGARCH), propostos em 2006 por Ferland, Latour e Oraichi [25]. O objetivo fundamental deste trabalho é introduzir e analisar uma nova classe de modelos de valores inteiros com evolução para a média condicional análoga à considerada em [25] mas em que se considera associada uma família abrangente de leis condicionais, nomeadamente a das leis infinitamente divisíveis discretas com suporte em N0, inflacionadas (ou não) em zero. Consideramos então uma família de leis condicionais que, na sua forma mais geral, podem ser interpretadas como misturas de uma lei de Dirac com uma qualquer lei discreta infinitamente divisível, sendo a sua especificação feita através da função característica. Em consequência da equivalência, no conjunto das leis discretas com suporte N0, entre leis infinitamente divisíveis e leis de Poisson compostas, este novo modelo denomina-se modelo GARCH de valor inteiro Poisson Composto inflacionado em zero (abreviadamente ZICP-INGARCH). Para além de não se limitar a considerar como lei condicional uma lei específica, este modelo tem como principal vantagem unificar e alargar significativamente a família de processos estocásticos de valores inteiros. Destaca-se que é possível evidenciar novos modelos com leis condicionais com interesse nas aplicações práticas como, em particular, os modelos INGARCH Poisson geométrico e INGARCH Neyman tipo-A eventualmente inflacionados em zero, e também reencontrar contribuições recentes como os modelos INGARCH binomial negativo [81, 84], INGARCH Poisson [25, 84] e INGARCH Poisson generalizado [52, 82] eventualmente inflacionados em zero. Para além de ter a capacidade de descrever diferentes comportamentos distribucionais e, consequentemente, diferentes tipos de heteroscedasticidade condicional, o modelo ZICP-INGARCH consegue incorporar outros factos estilizados muito associados a séries de contagem, nomeadamente a sobredispersão e a elevada ocorrência de zeros. A análise probabilista destes modelos, no que diz respeito em particular ao desenvolvimento de condições necessárias e suficientes de estacionaridade (de primeira ordem, forte e fraca) e ergodicidade e também de existência de momentos de ordem elevada, é o objeto principal deste estudo. São ainda determinados estimadores para os parâmetros do modelo seguindo uma metodologia em duas etapas que envolve o método dos mínimos quadrados e o dos momentos.

Count time series modeling has drawn much attention and considerable development in the recent decades since many of the observed stochastic systems in various contexts and scientific fields are driven by such kind of data. The first modelings, with linear character and essentially inspired by the classic ARMA models, are proved to be insufficient to give an adequate answer for some empirical characteristics, also observed in this type of data, such as the conditional heteroscedasticity. In order to capture such kind of characteristics several models for nonnegative integer-valued time series arise in literature inspired by the classic GARCH model of Bollerslev [10], among which is highlighted the integer-valued GARCH model with conditional Poisson distribution (briefly INGARCH model), proposed in 2006 by Ferland, Latour and Oraichi [25]. The aim of this thesis is to introduce and analyze a new class of integer-valued models having an analogous evolution as considered in [25] for the conditional mean, but with an associated comprehensive family of conditional distributions, namely the family of infinitely divisible discrete laws with support in N0, inflated (or not) in zero. So, we consider a family of conditional distributions that in its more general form can be interpreted as a mixture of a Dirac law at zero with any discrete infinitely divisible law, whose specification is made by means of the corresponding characteristic function. Taking into account the equivalence, in the set of the discrete laws with support N0, between infinitely divisible and compound Poisson distributions, this new model is designated as zero-inflated compound Poisson integer-valued GARCH model (briefly ZICP-INGARCH model). We point out that the model is not limited to a specific conditional distribution; moreover, this model has as main advantage to unify and enlarge substantially the family of integer-valued stochastic processes. It is stressed that it is possible to present new models with conditional distributions with interest in practical applications as, in particular, the zero-inflated geometric Poisson INGARCH and the zero-inflated Neyman type-A INGARCH models, and also recover recent contributions such as the (zero-inflated) negative binomial INGARCH [81, 84], (zero-inflated) INGARCH [25, 84] and (zeroinflated) generalized Poisson INGARCH [52, 82] models. In addition to having the ability to describe different distributional behaviors and consequently, different kinds of conditional heteroscedasticity, the ZICP-INGARCH model is able to incorporate simultaneously other stylized facts that have been recorded in real count data, in particular overdispersion and high occurrence of zeros. The probabilistic analysis of these models, concerning in particular the development of necessary and sufficient conditions of different kinds of stationarity (first-order, weak and strict) as well as the property of ergodicity and also the existence of higher order moments, is the main goal of this study. It is still derived estimates for the parameters of the model using a two-step approach which is based on the conditional least squares and moments methods.